Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực đại, cực tiểu của hàm số để làm. Cụ thể điểm \({x_0}\) là cực đại của hàm số ( tương ứng cực tiểu) khi và chỉ khi \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\,\,y''\left( {{x}_{0}} \right)<0\)  (tương ứng \(y''\left( {{x}_{0}} \right)>0)\)  .

Áp dụng vào bài toán này. Ta tính \(y',\) giải phương trình \(y'\left( x \right)=0\)  để tìm \({{x}_{0}}.\)  Sau đó kiểm tra điều kiện \(y''\left( {{x}_{0}} \right)>0)\) hay \(y''\left( {{x}_{0}} \right)<0\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho. Ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x - 9.\)

 Cực trị của hàm số đã cho đạt được tại  \({{x}_{0}}\) thì điều kiện cần là  \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 6{x_0} - 9 = 0 \Leftrightarrow x_0^2 - 2{x_0} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right..\)

Tính đạo hàm cấp 2. Ta có \(y'' = 6x - 6.\) Ta có \(y''\left( { - 1} \right) = 6.\left( { - 1} \right) - 6 = - 12 < 0\)  nên điểm \({x_0} = - 1\) là điểm làm cho hàm số đạt cực đại.

Ta có \(y''\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12 > 0\) nên điểm \({x_0} = - 3\) là điểm làm cho hàm số đạt cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \(y\left( 3 \right) = {3^3} - {3.3^2} - 9.3 + 2 = - 25.\)

Chọn đáp án C.