Phương pháp giải:

Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó

(điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\), có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y’’ = 0\))

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2\)

Điểm uốn của đồ thị hàm số là \(U(–2;1)\).

Xét đường thẳng \(d\) đi qua \(U(-2;1)\) có phương trình \(y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1\) hay \(y = {k_d}x + 2{k_d} + 1\).

\(d\)  cắt \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)\).

\(OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} =  - \dfrac{1}{2}\).

Nếu \({k_d} =  - \dfrac{1}{2}\) thì \(y =  - \dfrac{1}{2}x\) nên \(A \equiv B\) (loại).

Khi đó ta có hệ số góc của \(d\) là \({k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}}\)

Do đó có 2 đường thẳng \(d\) thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị \(k\) thỏa mãn bài toán

Chọn C