Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(0 \le k \le 12\,\,\left( {k \in N} \right)\).

\(\eqalign{  & C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}  \cr   &  \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {14 - k} \right)!}} + {{14!} \over {\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2{{14!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {12 - k} \right)!}}\left[ {{1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}} \right] = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) - 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182 + 2{k^2} - 24k - 56 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  k = 8\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   k = 4\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy có 2 giá trị của k thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.