Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\) để tìm n.

Sau đó tìm ra khoảng phù hợp chứa n vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(n \ge 3,n \in N.\)

\(\eqalign{  & A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {{n!} \over {\left( {n - 3} \right)!}} + 5{{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} = 2\left( {n + 15} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 5n\left( {n - 1} \right) = 2\left( {n + 15} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n + 5{n^2} - 5n - 2n - 30 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow n = 3\,\,\left( {tm} \right) \cr}. \)

Chọn C.