Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Để đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + m - 1\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \Delta ' > 0 \hfill \cr   S > 0 \hfill \cr   P > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 - m + 1 > 0 \hfill \cr   2 > 0 \hfill \cr   m - 1 > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m < 2 \hfill \cr   m > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\).

Chọn C.