Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2;2)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là
- A \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 7t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\)
- B \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = - 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
- C \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)
- D \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
Đường phân giác của 2 đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vtcp là:
\(\overrightarrow u = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}} + \frac{{\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;0} \right);\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(\overrightarrow u = \frac{{\overrightarrow {{u_d}} }}{5} + \frac{{\overrightarrow {{u_\Delta }} }}{3} = \left( {\frac{4}{{15}};\frac{{22}}{{15}};\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)
Chọn vecto chỉ phương cho đường phân giác là \(\left( {2;11; - 5} \right)\).
Ta thấy điểm A thuộc cả 2 đường thẳng nên thuộc đường phân giác, tức là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 11t\\z = - 5t\end{array} \right.\)
Đặt \(t = t' - 1\), khi đó ta có đường phân giác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 10 + 11t}\\{z = 6 - 5t}\end{array}} \right.\)