Phương pháp giải:

Đưa phương trình đường tròn về đạng chính tắc: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2} + {2^2} - 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}\end{array}\)

Vậy (C) có tâm I(-3;2), bán kính R=2.

Phương pháp giải:

\(\Delta '\) là tiếp tuyến của đường tròn (C)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta '} \right) = R\) với I là tâm và R là bán kính đường tròn.

\(\Delta '\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) thì nhận \(\overrightarrow n \left( {b; - a} \right)\) làm vecto pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta '\) là tiếp tuyến cần tìm. khi đó \(\Delta ' \bot \Delta \) nên có dạng: \(4x + 3y + c = 0\).

Vì \(\Delta '\) là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên

\(\begin{array}{l}d\left( {I,\Delta '} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.\left( { - 3} \right) + 3.2 + c} \right|}}{5} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {c - 6} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 16\\c = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ':4x + 3y + 16 = 0\\\Delta ':4x + 3y - 4 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Phương pháp giải:

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

(d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B thì \({\left[ {d\left( {I,d} \right)} \right]^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = {R^2}\) theo Py- ta- go.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 1} \right)\) là \(a\left( {x + 2} \right) + b\left( {y + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow ax + by + 2a + b = 0\).

(d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B nên \({\left[ {d\left( {I,d} \right)} \right]^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = {R^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a.\left( { - 3} \right) + b.2 + 2a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - a + 3b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} - 6ab + 9{b^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow - 6ab + 8{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3a = 4b\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(b = 0 \Rightarrow \left( d \right):x + 2 = 0\)

Với \(3a = 4b\). Chọn a=4,b=3. Khi đó \(\left( d \right):4x + 3y + 11 = 0\)

Vậy \(\left( d \right):x + 2 = 0\) hoặc \(\left( d \right):4x + 3y + 11 = 0\)