Phương pháp giải:

Tách tích phân.

Tích phân từng phần.

Sử dụng bảng nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}  = \frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{2x + 1 + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}{e^x}dx} \\ = \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}} }_{{I_1}} + \underbrace {\frac{1}{2}\int_0^4 {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} }_{{I_2}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{I_2} = \frac{1}{2}\int_0^4 {{e^x}d\left( {\sqrt {2x + 1} } \right)} \\ = \frac{1}{2}\left. {\left( {{e^x}.\sqrt {2x + 1} } \right)} \right|_0^4 - \frac{1}{2}\int_0^4 {\sqrt {2x + 1} .{e^x}dx} \\ = \frac{1}{2}.{e^4}.3 - \frac{1}{2} - {I_1}\\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \frac{3}{2}{e^4} - \frac{1}{2}\\ \Rightarrow T = {a^2} - {b^2} = 2\end{array}\)