Phương pháp giải:

Tính riêng thể tích \({V_1}\) phần tô đậm từ x=0 đến x=1 và phần thể tích \({V_2}\) từ x=1 đến x=4.

Thể tích cần tìm: \(V = {V_1} + {V_2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({V_1}\) là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2},y = 0,x = 0,x = 1\).

\({V_2}\) là thể tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3},y = 0,x = 1,x = 4\).

Thể tích cần tìm: \(V = {V_1} + {V_2}\)

Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^4}dx}  = \frac{\pi }{5}\)

\(\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right)}^2}dx}  = \pi \\ \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \frac{{6\pi }}{5}\end{array}\)