Câu hỏi

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 2x - 10\) và \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\). Đặt \(F\left( x \right) = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(F\left( x \right) = m\) có ba nghiệm thực  phân biệt

  • A \(m \in \left( { - 1;3} \right)\)
  • B \(m \in \left( {0;4} \right)\)
  • C \(m \in \left( {3;6} \right)\)
  • D \(m \in \left( {1;3} \right)\)

Phương pháp giải:

Nhận xét tính chất hàm số \(y = f\left( x \right)\), từ đó suy ra mối tương quan giữa số nghiệm của phương trình với số giá trị của f(x).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 7{x^6} + 5{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\\ = 7{x^6} + {x^4} + 4{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 4x + 2\\ = 7{x^6} + {x^4} + {x^2}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\ = 7{x^6} + {x^4} + {x^2}{\left( {2x - 1} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Do đó f(x) đồng biến trên R.

Suy ra với mỗi giá trị \(f\left( x \right) = t\) sẽ tồn tại duy nhất một giá trị \({x_0}\) để \(f\left( {{x_0}} \right) = t\)

Xét phương trình \(F\left( x \right) = m \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = m\) (*)

Từ nhận xét trên ta thấy, số nghiệm \(x\) của phương trình (*) bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(g\left( t \right) = m\)

Do đó, để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì pt g(t)=m phải có đúng 3 nghiệm t.

Xét hàm \(g\left( t \right) = {t^3} - 3t + 2\) có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 3 = 3\left( {{t^2} - 1} \right)\)

Cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\)

BBT :

Từ bbt ta thấy, phương trình g(t)=m có đúng 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 < m < 4\).

Chọn B.


>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.



Gửi bài