Câu hỏi

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số sau đồng biến trên tập số thực \(y = \left( {4 - {m^2}} \right){x^3} + \left( {2 - m} \right){x^2} + 7x - 9\)

  • A \(3\)
  • B \(2\)
  • C \(4\)
  • D \(1\)

Phương pháp giải:

- Xét 2 TH: \({m^2} - 4 = 0\) và \({m^2} - 4 \ne 0\).

+ Với \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\), đưa hàm số về dạng hàm số bậc nhất và bậc hai, xét xem hàm số có thỏa mãn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) hay không?

+ Với \({m^2} - 4 \ne 0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

TH1:  \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

+ Với \(m = 2 \Rightarrow y = 7x - 9\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

+ Với \(m =  - 2\)\( \Rightarrow y = 4{x^2} + 7x - 9\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{7}{8}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{7}{8}} \right)\) (ktm).

TH2: \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\).

Ta có: \(y' = 3\left( {4 - {m^2}} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 7\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {4 - {m^2}} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 7 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\left( {4 - {m^2}} \right) > 0\\\Delta ' = {\left( {2 - m} \right)^2} - 21\left( {4 - {m^2}} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {m^2} > 0\\\left( {2 - m} \right)\left( {2 - m - 21\left( {2 + m} \right)} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\\left( {2 - m} \right)\left( { - 40 - 22m} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - \dfrac{{20}}{{11}} \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{{20}}{{11}} \le m < 2\end{array}\)

Kết hợp với \(m = 2\) ta được \( - \dfrac{{20}}{{11}} \le m \le 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.


>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.



Gửi bài