Phương pháp giải:

- Rút $f'\left( x \right)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}$, sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {\sqrt x dx}  = \dfrac{2}{3}x\sqrt x  + C$.

- Từ giả thiết $f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f\left( x \right)$.

- Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ với hàm $f\left( x \right)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\dfrac{{a\sqrt 2  + b}}{{15}}$. Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính tổng $T = a + b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt x  + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1\,\,\,\,\forall x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {x + 1} }}\,\,\,\,\forall x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt x \,\,\,\,\forall x \ge  - 1\end{array}$

$\Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt x } \right)dx}  = \dfrac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right) + C$

Mà $f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}$$\Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {1 - 0} \right) + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 0$.

$\Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right)$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{2}{3}\int\limits_0^1 {\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{5}\left. {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {x + 1}  - {x^2}\sqrt x } \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{{15}}\left[ {\left( {4\sqrt 2  - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{16\sqrt 2  - 8}}{{15}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b =  - 8\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $T = a + b = 16 + \left( { - 8} \right) = 8.$

Chọn D.