Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(4\sqrt 6 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\sqrt 6 \).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\). 

Lời giải chi tiết:

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {2 - {m^2}} \right)\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(4\sqrt 6 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\sqrt 6 \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9{\left( {m + 1} \right)^2} + 9\left( {2 - {m^2}} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 96\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18m + 27 > 0\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right) = 96\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{3}{2}\\8m + 12 = 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{3}{2}\\m = \dfrac{{21}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{{21}}{2}\) .

Chọn A.