Phương pháp giải:

Xét hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} + 2mx - 3m + 4\) ta có:

\(y' = {x^2} - mx + 2m \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - mx + 2m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(a = 1 > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài là \(3\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} + 2mx - 3m + 4\) ta có:

\(y' = {x^2} - mx + 2m \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - mx + 2m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(a = 1 > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài là \(3\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)  \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 8\\m < 0\end{array} \right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4.2m = 9\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 9\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.