Phương pháp giải:

- Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, vì thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\). Dựa vào diện tích xung quanh của hình trụ tính \(r,\,\,h\).

- Dựa vào định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) tính \(AB\) theo \(r\), từ đó tính được \(AB\).

- Sử dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có \({S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi  = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8\).

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\), do đó \(r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4\) \( \Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'\).

Theo bài ra ta có: \(\angle AOB = {120^0}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {120^0}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3  = 2.\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3  + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \).

Chọn D.