Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\), suy ra hệ phương trình, giải tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx} \), có thể sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\,\,\left( 1 \right)\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\), khi đó (1) trở thành \(f\left( {\dfrac{1}{t}} \right) + 2f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\), suy ra \(f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\\f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\\4f\left( x \right) + 2f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{2}{x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 3f\left( x \right) = \dfrac{2}{x} - x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{x} - x} \right)\).

Vậy \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {xf\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2 - {x^2}} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\left. {\left( {2x - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \dfrac{1}{8}\).

Chọn D.