Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Dựa vào dấu của \(m\) xác định tính đơn điệu của hàm số trên \(\left[ {2;5} \right]\) và suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {2;5} \right]\).

- Giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{m}{{2\sqrt {x - 1} }}\).

TH1: \(m > 0 \Rightarrow y' > 0\,\,\,\forall x \ne 1\), khi đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {2;5} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = m\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 2m\end{array} \right.\\ \Rightarrow m + 2m = {m^2} - 10\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(m < 0 \Rightarrow y' < 0\,\,\,\forall x \ne 1\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ {2;5} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 2m\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = m\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2m + m = {m^2} - 10\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({m_1} = 5,\,\,{m_2} =  - 2 \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 5 + \left( { - 2} \right) = 3.\)

Chọn A.