Phương pháp giải:

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

Xét các trường hợp sau:

TH1: d = 0, số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

+ a, b, c cùng chia 3 dư 1.

+ a, b, c cùng chia 3 dư 2.

+ a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

TH2: d = 5, số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

+ a, b, c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

+ a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 2.

+ a, b, c có 2 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

Do đó \(d \in \{ 0;5\} \).

TH1: d = 0, số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

Ta có các nhóm chữ số sau:

+ {9} chia hết cho 3.

+ {1; 4; 7} chia 3 dư 1.

+ {2; 5; 8} chia 3 dư 2.

Để \(\overline {abc0} \) chia hết cho 3 thì:

+ a, b, c cùng chia 3 dư 1: có 3! cách chọn (hoán vị 1; 4; 7).

+ a, b, c cùng chia 3 dư 2: có 3! cách chọn (hoán vị 2; 5; 8).

+ a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2: có \(1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn.

TH1 có \(3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số.

TH2: d = 5, số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

Ta có các nhóm chữ số sau:

+ {0;9} chia hết cho 3.

+ {1; 4; 7} chia 3 dư 1.

+ {2; 8} chia 3 dư 2.

Để \(\overline {abc5} \) chia hết cho 3 thì:

+ a, b, c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1: có \(C_3^1.3! - C_3^1.2!\) cách (trừ TH a = 0).

+ a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 2: có \(C_2^1.3! - 2!\) cách (trừ TH a = 0).

+ a, b, c có 2 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2: có \(C_3^2.C_2^1.3!\) cách.

TH2 có \(C_3^1.3! - C_3^1.2! + C_2^1.3! - 2! + C_3^2.C_2^1.3! = 58\) số.

Vậy có tất cả 66 + 58 = 124 số thỏa mãn.