Câu hỏi
Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 1}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\), có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\)
- A \(2\)
- B \(1\)
- C \(3\)
- D \(0\)
Phương pháp giải:
- Tìm các tập hợp biểu diễn cặp \(x;y.\)
- Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn rồi tìm \(m.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + 2y + 5 \ge {x^2} + {y^2} + 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\end{array}\)
Các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) là tập hợp các điểm nằm trên hình tròn tâm \(I\left( {1;1} \right),R = 2\).
Mặt khác \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m\)\( \Rightarrow \left( {A;\sqrt m } \right)\) với \(A\left( { - 2; - 3} \right)\)
Để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thì \(\left( {A;\sqrt m } \right);\left( {I;2} \right)\) tiếp xúc nhau.
+) 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì \(2 + \sqrt m = AI = 5 \Leftrightarrow m = 9\)
+) 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì \(\sqrt m - 2 = AI = 5 \Leftrightarrow m = 49\)
Vậy có \(2\) giá trị thỏa mãn.
Chọn A.