Phương pháp giải:

- Tìm các tập hợp biểu diễn cặp \(x;y.\)

- Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn rồi tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + 2y + 5 \ge {x^2} + {y^2} + 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 4\end{array}\)

Các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) là tập hợp các điểm nằm trên hình tròn tâm \(I\left( {1;1} \right),R = 2\).

Mặt khác \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m\)\( \Rightarrow \left( {A;\sqrt m } \right)\) với \(A\left( { - 2; - 3} \right)\)

Để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thì \(\left( {A;\sqrt m } \right);\left( {I;2} \right)\) tiếp xúc nhau.

+) 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì \(2 + \sqrt m  = AI = 5 \Leftrightarrow m = 9\)

+) 2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì \(\sqrt m  - 2 = AI = 5 \Leftrightarrow m = 49\)

Vậy có \(2\) giá trị thỏa mãn.

Chọn A.