Phương pháp giải:

a) Thay \(x = 9\) vào \(A\) và tính.

b) Quy đồng mẫu thức, thực hiện phép cộng trừ phân thức và rút gọn.

c) Giải bất phương trình \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}\). Chú ý đối chiếu điều kiện.

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 9\)

Thay \(x = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào \(A\) được \(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  + 1}} = \frac{3}{4}\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{3}{4}.\) 

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + \sqrt x  - 5\sqrt x  + 5 + 2\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\, = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)  với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 1.\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để  \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{B}{A} < \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} < \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} < \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - \frac{3}{4} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x  - 4 - 3\sqrt x }}{{4\sqrt x }} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 4}}{{4\sqrt x }} < 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \(x > 0 \Rightarrow 4\sqrt x  > 0 \Rightarrow \left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt x  - 4 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 4\) \( \Leftrightarrow x < 16\)

Với \(x > 0,x \ne 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Vậy để \(\frac{B}{A} < \frac{3}{4}\) thì  \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 16\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Chọn C.