Phương pháp giải:

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.

Xét hình thang ABCD ta có:

M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang ABCD.

\( \Rightarrow MN//AB//CD\) (tính chất) (1)

Xét \(\Delta ADB\) ta có:

M, Q lần lượt là trung điểm của AD và BD

\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\) (định nghĩa).

\( \Rightarrow MQ//AB\) (tính chất) (2)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

N, P lần lượt là trung điểm của BC và AC

\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow NP//AB\) (tính chất) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(MN//MQ//NP//AB\)

\( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,\,Q\) thẳng hàng. (đpcm)

b) Giả sửa \(AB < CD.\) Chứng minh \(PQ = \frac{{DC - AB}}{2}.\)

Ta có: \(MQ\) là đường trung bình của \(\Delta ADB\)

\( \Rightarrow MQ = \frac{1}{2}AB.\)

\(NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB.\)

\( \Rightarrow MQ + NP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AB = AB.\)

\(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB + CD}}{2}.\)

Lại có: \(PQ = MN - \left( {MQ + PN} \right)\)

\( \Rightarrow PQ = \frac{{AB + CD}}{2} - AB = \frac{{CD - AB}}{2}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)