Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2} + 4x\), tìm khoảng giá trị của t.

- Tính đạo hàm \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm nghiệm t.

- Từ nghiệm t tìm ra nghiệm x và kết luận số điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4\\y' = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + 4x\) ta có: \(t' = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy với \(x \in \left( { - 5; - 1} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 4;5} \right)\).

Ta có phương trình (*) trở thành \(f'\left( t \right) = 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) ta thấy trên nửa đoạn \(\left[ { - 4;5} \right)\) phương trình \(f'\left( t \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(t =  - 4\), \(t = 0\) và \(t = {t_0} \in \left( {1;5} \right)\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^2} + 4x\) ta có:

+ Phương trình \({x^2} + 4x =  - 4\) có 1 nghiệm kép (không là cực trị).

+ Phương trình \({x^2} + 4x = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \({x^2} + 4x = {t_0} \in \left( {1;5} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \(y' = 0\) có 5 điểm cực trị.

Chọn A.