Phương pháp giải:

- Đổi khoảng cách từ I đến (SAB) sang khoảng cách từ C đến (SAB), sau đó đổi sang khoảng cách từ H đến (SAB), với H là chân đường cao của khối chóp.

- Xác định khoảng cách bằng phương pháp kẻ 3 nét (kẻ \(HM \bot AB,\,\,HK \bot SM\)).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \(IC \cap \left( {SAB} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{IS}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).

Lại có: \(CH \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi M là trung điểm của AB ta có \(HM\parallel AC\) (do HM là đường trung bình của tam giác ABC).

Mà \(AB \bot AC \Rightarrow HM \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot AB\\SH \bot AB\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right)\).

Trong (SHM) kẻ \(HK \bot SM\,\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AB\,\,\,\left( {AB \bot \left( {SHM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\\HM \subset \left( {ABC} \right),\,\,HM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;HM} \right) = \angle SMH = {60^0}\).

Ta có: \(MH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\) \( \Rightarrow SH = HM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có: \(HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \(d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\).

Chọn A.