Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Suy ra TXĐ của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kì

\(\dfrac{\pi }{2}\), dựa vào các đáp án ta xét tính đơn điệu của hàm số trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4}} \right\}\).

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = \tan x\) ta có thể suy ra hàm số \(y = \tan 2x\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) và

\(\left( {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn A.