Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của CD, I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh \(\Delta ICD\) vuông tại I.

- Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác vuông ICD quanh cạnh AD, \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác vuông IAB quanh cạnh AD. Tính \({V_1},\,\,{V_2}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

- Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình thang ABCD quanh cạnh AD là: \(V = {V_1} - {V_2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AD và BC.

Khi đó ta có MC = MD = 5 = AB, lại có AB // MD, AB // MC

=> ABMD và ABCM là các hình bình hành.

=> AM = BC = 3 và BM = AD = 4.

Xét tam giác ADM có: \(\left\{ \begin{array}{l}A{D^2} + A{M^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\M{D^2} = {5^2} = 25\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta ADM\) vuông tại A (định lí Pytago đảo).

CMTT: \(\Delta BCM\) vuông tại B.

\( \Rightarrow AM \bot AD \Rightarrow BC \bot AD\) hay \(IC \bot ID \Rightarrow \Delta ICD\) vuông tại I.

Lại có AB // CD, \(AB = \dfrac{1}{2}CD\) nên AB là đường trung bình của tam giác ICD, suy ra A và B lần lượt là trung điểm của ID và IC.

Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác vuông ICD quanh cạnh AD.

\( \Rightarrow {V_1}\) là khối nón có chiều cao \({h_1} = ID = 2AD = 8\), \({r_1} = IC = 2BC = 6\).

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi r_1^2{h_1} = \dfrac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \).

 Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay khi xoay tam giác vuông IAB quanh cạnh AD.

\( \Rightarrow {V_2}\) là khối nón có chiều cao \({h_2} = AI = AD = 4\), \({r_2} = IB = BC = 3\).

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi r_2^2{h_2} = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \).

Vậy thể tích khối tròn xoay khi xoay hình thang ABCD quanh cạnh AD là: \(V = {V_1} - {V_2} = 96\pi  - 12\pi  = 84\pi \).

Chọn B.