Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận ngang; tiệm cận đứng của hàm số.

- Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có TCN: \(y = \dfrac{a}{c}\) và TCĐ \(x =  - \dfrac{d}{c}\).

- Dựa vào các đường tiệm cận và các điểm đi qua để tìm các hệ số.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình hàm số dạng \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y =  - 1;\) và tiệm cận đứng là \(x =  - 1\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{c} =  - 1\\ - \dfrac{d}{c} =  - 1\end{array} \right.\). Chọn \(c = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\d = 1\end{array} \right.\)

Khi đó hàm số có dạng \(y = \dfrac{{ - x + b}}{{x + 1}}\).

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\) nên ta có: \(1 = \dfrac{{ - 0 + b}}{{0 + 1}} \Leftrightarrow b = 1\).

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{x + 1}}\).

Chọn D.