Phương pháp giải:

-  Áp dụng: \(\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{a - b}}\) với \(a > b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} }}\\ = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}} + ....... + \frac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{3 - 1}} + \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} + ....... + \frac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}\\ = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{2} + ...... + \frac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 3  - 1 + \sqrt 5  - \sqrt 3  + ....... + \sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}\\ = \frac{{\sqrt {2021}  - 1}}{2}.\end{array}\)

Chọn C.