Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm cận còn lại.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt x  = 6 - x\,\,\left( {0 \le x \le 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = 36 - 12x + {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 13x + 36 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Do đó hình phẳng cần tính được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), \(y = 6 - x\), đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\), có diện tích là \(S = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right|dx} \).

Với \(x \in \left[ {0;4} \right]\) thì \(\sqrt x  - 6 + x \le 0\), do đó \(\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right| = 6 - x - \sqrt x \).

Vậy \(S = \int\limits_0^4 {\left( {6 - x - \sqrt x } \right)dx} \).

Chọn D.