Phương pháp giải:

Xét hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\,\left( {x \ne  - \frac{d}{c}} \right)\) trên đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) ta có:

+) Với \(y' > 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Min}\limits_{\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]} y = y\left( {{x_1}} \right)\\\mathop {Max}\limits_{\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]} y = y\left( {{x_2}} \right)\end{array} \right..\)

+) Với \(y' < 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Min}\limits_{\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]} y = y\left( {{x_2}} \right)\\\mathop {Max}\limits_{\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]} y = y\left( {{x_1}} \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;\,\,3} \right]\) ta có:

\(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\,\,3} \right]\) \( \Rightarrow \) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left[ {0;\,\,3} \right]\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 1\\m = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,\,3} \right]} y = y\left( 0 \right) =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M + m = \frac{1}{2}.\)

Chọn D.