Phương pháp giải:

Chuyển biểu thức \(A\) về ẩn \(x + y\) và \(xy\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l}{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);\\{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} - 2AB\end{array}\)

Sau đó thay \(x + y = 3\) vào \(A\) và rút gọn \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\end{array}\)

Thay \(x + y = 3\) vào \(A\) được:

\(\begin{array}{l}A = 3\left[ {{3^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{3^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3.3 - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = 3\left( {9 - 3xy} \right) - 2\left( {9 - 2xy} \right) + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 27 - 9xy - 18 + 4xy + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 15\end{array}\)

Vậy \(A = 15\) với \(x + y = 3\).

Chọn C.