Phương pháp giải:

- Lập BBT của hàm số \(f\left( x \right)\).

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\).

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta suy ra BBT như sau:

Để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = 0\) phải cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt \( \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0 < f\left( m \right)\) nến \(f\left( m \right) < f\left( n \right)\) hoặc \(f\left( 0 \right) < 0 < f\left( n \right)\) nếu \(f\left( n \right) < f\left( m \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta thấy: \(\int\limits_m^n {f'\left( x \right)dx}  > 0 \Leftrightarrow f\left( n \right) - f\left( m \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( n \right) > f\left( m \right)\).

Vậy \( \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0 < f\left( m \right)\).

Chọn A.