Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

\( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất \( \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right)\) là giá trị nhỏ nhất của \(f'\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho có hệ số góc nhỏ nhất \( \Leftrightarrow y'\) nhỏ nhất.

Ta có: \(y'' = 6x - 6 \Rightarrow y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;\, - 1} \right)\) có hệ số góc nhỏ nhất.

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) - 1\) \( \Leftrightarrow y =  - 3\left( {x - 1} \right) - 2 =  - 3x + 2.\)

Chọn D.