Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện \(a + b + c = 0\) ta có \( - a - b = c\)

Ta thay \(c =  - a - b\) và \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) và áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển, rút gọn được \(3abc\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a - b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ =  - 3ab\left( {a + b} \right)\\ = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\).