Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị hàm số xác định các giao điểm \(x = a,\,\,x = b\).

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\),\(g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Dựa vào đồ thị hàm số, xác định dấu và phá trị tuyệt đối.

- Tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 3x - 1\) và \(y =  - {x^2} + x + 3\) cắt nhau tại 2 điểm là \(x =  - 2;\,\,x = 1.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \(y = {x^2} + 3x - 1;y =  - {x^2} + x + 3\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - {x^2} + x + 3 - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)} \right]dx} \\S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx} \end{array}\)

Chọn C.