Phương pháp giải:

Từ BBT suy ra các đường TCĐ, TCN của đồ thị hàm số.

Từ đó suy ra mối quan hệ của \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 2\) \( \Rightarrow  - \dfrac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c =  - 2b\)

TCN: \(y = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + 1}}{{bx + c}}\)  \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' > 0\,\,\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow ac - b > 0\\ \Leftrightarrow b.\left( { - 2b} \right) - b > 0\\ \Leftrightarrow  - 2{b^2} - b > 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + b < 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < b < 0\\ \Rightarrow b < 0\\ \Rightarrow a < 0,c > 0\end{array}\)

Vậy trong ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số dương.

Chọn C.