Phương pháp giải:

- Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {0;3} \right]\).

- Từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2x - 2\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = m,\,\,f\left( 1 \right) = m - 1,\,\,f\left( 3 \right) = m + 3\).

\(\begin{array}{l}\mathop {max}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = max\left\{ {m - 1;m;m + 3} \right\} = m + 3\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {m - 1;m;m + 3} \right\} = m - 1\\\mathop {max}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = \mathop {max}\limits_{\left[ {0;3} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {m - 1} \right|;\left| {m + 3} \right|} \right\} = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 1} \right| = 5\\\left| {m + 3} \right| \le 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| = 5\\\left| {m - 1} \right| \le 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 4;2} \right\}\) nên tổng các phần tử của \(S\) là \( - 4 + 2 =  - 2.\).

Chọn A.