Câu hỏi
Cho hình nón có chiều cao bằng 1. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích S. Gọi \({S_d}\) là diện tích đáy của hình nón. Biết \({S} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d}\). Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:
- A \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 3} \right)\pi }}{6}\)
- B \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{2}\)
- C \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{4}\)
- D \(\dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 3} \right)\pi }}{{12}}\)
Phương pháp giải:
- Gọi R là bán kính đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago tính cạnh của thiết diện.
- Tính diện tích của thiết diện và diện tích đáy của hình nón theo R.
- Thay vào giả thiết \(S = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d}\) tìm R.
- Diện tích toàn phần của hình nón có kính đáy R và đường sinh \(l\) là: \({S_{tp}} = \pi {R^2} + \pi Rl\).
Lời giải chi tiết:
Gọi R là bán kính đáy của hình nón.
Cạnh của thiết diện là: \(SA = \sqrt {S{O^2} + {R^2}} = \sqrt {1 + {R^2}} \).
Diện tích thiết diện là: \(S = \dfrac{{S{A^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\left( {1 + {R^2}} \right).\sqrt 3 }}{4}\).
Diện tích đáy của hình nón là \({S_d} = \pi {R^2}\).
Ta có: \(S = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{4\pi }}{S_d} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {1 + {R^2}} \right)\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\pi {R^2}.5\sqrt 3 }}{{4\pi }}\) \( \Leftrightarrow R = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SA = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = l\).
Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi {R^2} + \pi Rl = \pi .\dfrac{1}{4} + \pi .\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi }}{4}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
