Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - 6y - 4z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right);\)\(B\left( {1;4; - 1} \right);\) \(C\left( {2;4;3} \right)\). Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(SA = SB = SC\). Tính \(l = SA + SB\).
- A \(l = \sqrt {53} \)
- B \(l = \sqrt {37} \)
- C \(l = \sqrt {117} \)
- D \(l = \sqrt {101} \)
Phương pháp giải:
- Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\).
- Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c.
- Tính \(SA\), sau đó tính l.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(S\left( {a;b;c} \right).\)
Vì \(S \in \left( P \right) \Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}SA = SB = SC\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = SB\\SA = SC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 8b + 2c + 21 = - 2a - 8b + 2c + 18\\ - 4b - 8b + 2c + 21 = - 4a - 8b - 6c + 29\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 3\\8c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{2}\\c = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Thay vào (1) ta có: \(2.\dfrac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow b = 1.\)
Khi đó ta có: \(S\left( {\dfrac{3}{2};1;1} \right) \Rightarrow SA = \sqrt {\dfrac{1}{4} + 9 + 4} = \dfrac{{\sqrt {53} }}{2}\).
Vậy \(l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
