Phương pháp giải:

- Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB,AC,AD lần lượt tại B’,C’,D’.

- Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).

- Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B’.

- Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và đi qua điểm B’.

Lời giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đặt \(\dfrac{{AB'}}{{AB}} = k\). Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\dfrac{{AC'}}{{AC}} = \dfrac{{AD'}}{{AD}} = k\).

Khi đó ta có  \(\dfrac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{AB'}}{{AB}}.\dfrac{{AC'}}{{AC}}.\dfrac{{AD'}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow {k^3} = \dfrac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \dfrac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \dfrac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \dfrac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \dfrac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \dfrac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {\dfrac{1}{3};1;0} \right)\end{array}\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( {BCD} \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(0.\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0\) \( \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\).

Chọn B.