Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \({\left( {x + 1} \right)^2}\). Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2f\left( x \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) = \dfrac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}f\left( x \right) + \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)'.f\left( x \right) + \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]' = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left[ {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \end{array}\)

Đặt \(I = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3\) \( \Rightarrow tdt = xdx\).

Khi đó ta có \(I = \int {\dfrac{{tdt}}{t}}  = t + C = \sqrt {{x^2} + 3}  + C\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}.f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3}  + C\)

Thay \(x = 1\) ta có \(0 = 2 + C \Leftrightarrow C =  - 2\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3}  - 2\).

Thay \(x = 0\) ta có: \( - f\left( 0 \right) = \sqrt 3  - 2 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 2 - \sqrt 3 \).

Chọn B.