Phương pháp giải:

Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 1\). Tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm, từ đó kết luận điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 1\) ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0\), do đó điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)\) cũng chính là điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\).

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\). Vậy hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\).

Chọn C.