Phương pháp giải:

- Chóp có các cạnh bên bằng nhau có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BCD\) \( \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\).

Khi đó \(OB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) lên \(\left( {BCD} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {AB;\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {AB;OB} \right) = \angle ABO\).

Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \(BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(AO \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(AO \bot OB\), suy ra \(\Delta ABO\) vuông tại \(O\).

\( \Rightarrow \cos \angle ABO = \dfrac{{OB}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\cos \angle \left( {AB;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn B.