Phương pháp giải:

- Đổi biến \(t = {x^2} + 2\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({x^2} + 2 = t \Rightarrow 2xdx = dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {x{e^{{x^2} + 2}}dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {{e^t}dt} \\I = \left. {\dfrac{1}{2}{e^t}} \right|_2^3 = \dfrac{1}{2}\left( {{e^3} - {e^2}} \right)\end{array}\)

Mà \(I = \dfrac{a}{2}\left( {{e^b} - {e^c}} \right) \Rightarrow a = 1;\,\,\,b = 3;\,\,c = 2.\)

Vậy \(a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6.\)

Chọn D.