Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) bằng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x + 3\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = m\) bằng là: \(S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 3} \right|dx}  = \left| {\left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^m} \right| = \left| {{m^2} + 3m} \right|.\)

Theo bài ra ta có: \(S = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{m^2} + 3m} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m = 10\\{m^2} + 3m =  - 10\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m\) là số nguyên dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn D.