Phương pháp giải:

- Xét tính phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4\), sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \tan x\).

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4\).

Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\) \( \Rightarrow \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( {\mathop{\rm t}\nolimits}  \right)}}{{1 + {t^2}}}{\rm{d}}t}  = 4\)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x}  = 4\).

Ta có: \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {x^2}}}\left( {1 + {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4 + 2 = 6\).

Chọn A.