Phương pháp giải:

- Tìm giới hạn của hàm số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ${n^3}$.

- Tìm $a$, từ đó tính $a - {a^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}}}{{a + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{2}{a}.$

Theo bài ra ta có: $\frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 4$.

Vậy $a - {a^2} = 4 - {4^2} =  - 12.$

Chọn C.