Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm của mặt cầu với tia Oy bằng cách cho \(x = z = 0\), tìm \(y\).

- Mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại giao điểm của \(\left( S \right)\) với tia Oy đi qua tiếp điểm và nhận \(\overrightarrow {IM} \) là 1 VTPT, với \(I\) là tâm mặt cầu, \(M\) là tiếp điểm.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 5 = 0\)có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\).

Cho \(x = z = 0\) ta có: \({y^2} + 4y - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 5\end{array} \right.\)

Khi đó giao điểm của \(\left( S \right)\) và \(Oy\) là: \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {0;1;0} \right)\\M\left( {0; - 5;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {IM}  = \left( { - 1;3; - 3} \right)\\\overrightarrow {IM}  = \left( { - 1; - 3; - 3} \right)\end{array} \right.\)

Mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại giao điểm của \(\left( S \right)\) với tia Oy đi qua tiếp điểm và nhận \(\overrightarrow {IM} \) là 1 VTPT, với \(I\) là tâm mặt cầu, \(M\) là tiếp điểm.

Khi đó phương trình mặt phẳng thỏa mãn bài toán là \(\left[ \begin{array}{l}x - 3y + 3z + 3 = 0\\x + 3y + 3z + 15 = 0\end{array} \right..\)

Chọn D.