Phương pháp giải:

- Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\). Từ đó tính tổng \(T\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v =  - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln x} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{{x^2}}}}  = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln x} \right|_1^2 - \left. {\dfrac{1}{x}} \right|_1^2\)

\( \Leftrightarrow I =  - \dfrac{1}{2}\ln 2 - \left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right) =  - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c = 2\)

\( \Rightarrow T = 2a + 3b + 4c = 10.\)

Chọn D.