Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác \(ABD\), sử dụng công thức He-rong \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác, \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác.

- Suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}}\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \(V = AA'.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABD\), ta có \(p = \dfrac{{AB + AD + BD}}{2} = \dfrac{{a + a + a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2}a\).

Diện tích tam giác \(ABD\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = AA'.{S_{ABCD}} = 4a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = 2{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn A.