Câu hỏi
Giải các bất phương trình sau:
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \). Giải bất phương trình \(2f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\).
- A \(S = 1\)
- B \(S = \left [ -4;6 \right ]\)
- C \(S = \left [ 2 - \sqrt{26};2 + \sqrt{26} \right ]\)
- D \(S = \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\)
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).
- Giải bất phương trình bậc hai.
Lời giải chi tiết:
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \)
ĐKXĐ: \({x^2} - 2x - 24 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le - 4\end{array} \right.\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }}\).
\(\begin{array}{l}2f'\left( x \right) \ge f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 24} }} \ge \sqrt {{x^2} - 2x - 24} \\ \Leftrightarrow 2x - 2 \ge {x^2} - 2x - 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 22 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {23} \le x \le 1 + \sqrt {23} \end{array}\)
Kết hợp điều kiện xác định \( \Rightarrow x \in \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {6;2 + \sqrt {26} } \right]\).
Chọn D.
Câu 2:
Cho hàm số \(g\left( x \right) = x - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \). Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) \ge 0\).
- A \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\)
- B \([3; +\infty )\)
- C \([ - 3; +\infty )\)
- D \(\left( { - \infty ; 3} \right]\)
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).
- Giải bất phương trình chứa căn: \(f\left( x \right) \le \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\{f^2}\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
\(g\left( x \right) = x - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \)
ĐKXĐ: \({x^2} + 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }}\)
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \le 1\\ \Leftrightarrow x + 1 \le \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 1 < 0\\{x^2} + 2x - 3 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \le {x^2} + 2x - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\1 \le - 3\,\,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\end{array}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
